Algorithmen der Computeralgebra beruhen durchgängig auf algebraischen Konzepten und haben das Bestimmen geschlossener (symbolischer) Lösungen zum Ziel. Die Computeranalytik hingegen versteht sich in einem gewissen Sinn als Pendant zur Numerischen Mathematik. Ihr Anliegen besteht vorrangig in der Nutzung von Computeralgebra-Systemen für kontrollierte analytische Näherungslösungen bei nicht geschlossen lösbaren oder nur mit nicht vertretbarem Aufwand lösbaren Aufgaben. Die Zielstellung der Computeranalytik läßt sich wie folgt zusammenfassen:
Hierbei kommen klassische und neue Approximationsverfahren der Mathematischen Analysis in Kombination mit Methoden der Computeralgebra zur Anwendung. Symbolische Arbeitstechniken werden mit der bewährten numerischen Nutzung des Computers sinnvoll verbunden. Daraus resultieren für die zum Einsatz kommenden Computeralgebra-Systeme hohe Anforderungen an die Schnittstelle zwischen symbolischen und numerischen Operationen. Die Entwicklung nahm ihren Anfang vor ca. zwei Jahrzehnten in Dresden. Von N. J. Lehmann, von dem entscheidende Impulse dazu ausgingen und der international als Mitbegründer der Computeranalytik gilt, und seinen Schülern wurde eine Reihe von Algorithmen entwickelt und rechentechnisch aufbereitet [3, 4, 9, 10].
Eines der Hauptfelder der Computeranalytik ist das Bestimmen formelmäßiger Näherungslösungen für Differentialgleichungen. Aus den Zielen der Computeranalytik leitet sich ab, dass vor allem solche mathematischen Approximationsverfahren interessieren, die sich einem vorgegebenen Problem automatisch anpassen und mit vertretbarem Aufwand übersichtliche einfache Formelausdrucke liefern.
Gute Resultate in diesem Sinne konnten mit einem Zweistufenkonzept für gewöhnliche Differentialgleichungen erzielt werden. In einem ersten Schritt wird das gegebene Problem durch ein geeignet gewähltes ''Nachbarproblem'' adaptiert, das mit Algorithmen der Computeralgebra geschlossen lösbar ist. Die Fundamentallösungen fungieren dann in einem zweiten Schritt als Basis für einen angepaßten Näherungsansatz. Wenn also das Problem in der Form ( gewöhnlicher Differentialoperator der Ordnung ) mit linear unabhängigen Nebenbedingungen gegeben ist, ersetzt der Adaptionsschritt durch einen ''benachbarten'' Differentialoperator hinreichend hoher Ordnung . Wenn vertretbar wird der linearen Abhängigkeit von den freien Parametern in der Form der Vorzug gegeben. Die werden dann mit Hilfe geeignet gewählter ''Adaptionskriterien'' bestimmt. Mit den über algebraische Methoden ermittelten Fundamentallösungen von wird im nachfolgenden eigentlichen Approximationsschritt ein Ansatz gemacht. Die Parameter lassen sich über geeignet wählbare ''Approximationskriterien'' mit Bezug auf die gegebene Aufgabe unter Berücksichtigung der Nebenbedingungen ermitteln.
Dieses Zweistufenkonzept bietet neben dem Vorteil, eine enge Problemanpassung zu ermöglichen, einen breiten Spielraum zur Entwicklung verschiedener Algorithmen je nach Wahl der verwendeten Approximationskriterien in beiden Schritten und Festlegung der Klasse der Nachbarprobleme. Hinzu kommt, dass dieses Konzept eine zweifache Möglichkeit zur Steuerung der Genauigkeit bietet und den symbolischen und numerischen Berechnungsaufwand entscheidend reduziert.
Ausgehend von diesem einfachen Grundkonzept konnten für verschiedene Aufgabenklassen problemangepaßte Algorithmen entwickelt werden (z. B. [7]). Mit hat man die Möglichkeit, das System der Ansatzfunktionen dem qualitativen Verhalten der Lösung anzupassen (z. B. Polynome, rationale Funktionen, Exponentialfunktionen, ...). Es gelingt, die große Vielfalt an Projektionsmethoden in dieses Grundkonzept zu integrieren [6]. Noch ungelöst ist die Frage, inwieweit es gelingt, die beiden Approximationskriterien problemangepaßt und genauigkeitsorientiert auszuwählen und damit eine effiziente Steuerung der Genauigkeitsansprüche zu erreichen.
Eine Modifikation dieser Strategie stellt die Entwicklung eines Algorithmus zur näherungsweisen Bestimmung der nichtexponentiellen Lösungen für eine Klasse linearer gewöhnlicher Differentialgleichungen beliebiger Ordnung mit polynomialen Koeffizienten ( Konstantenkörper der Charakteristik ) dar [2]. Der Funktionenraum, in dem sich die Näherungslösung befinden soll, wird durch Differentialoperatoren festgelegt, die ausschließlich ''elementare'' Lösungen im Sinne der Differentialalgebra (elementare Erweiterungen von ) besitzen und sich dabei in Faktoren der Ordnung 1 mit Koeffizienten aus ( algebraischer Abschluß von ) zerlegen lassen. Mit Hilfe von Aussagen zur Struktur der Lösungsfunktionen aus der Computeralgebra lassen sich effiziente Algorithmen aufbereiten, die exakte Lösungen aus der Menge der exponentiellen Funktionen über K, d. h. Funktionen der Form , ermitteln, falls solche existieren [1]. Die benötigten Differentialoperatoren 1. Ordnung werden in einer rekursiven Prozedur vom gegebenen Differentialoperator als rechte Linearfaktoren abgespalten.
Näherungslösungen ohne realistische Fehleraussagen sind praktisch wertlos. Das Bereitstellen implementierbarer Fehlerabschätzungen ist deshalb ein zentrales Anliegen der Computeranalytik. Aufbauend auf einem in [8] vorgeschlagenen Konzept hat sich eine Vorgehensweise bewährt, die bei Zugrundelegen einer sinnvoll abgegrenzten Funtionenklasse für die in den Aufgaben auftretenden Koeffizientenfunktionen mit den heute verfügbaren Mitteln an Hard- und Software die vollständig vom Computer ausgeführte Berechnung von Fehlerschranken gestattet. Grundlage bildet die Darstellung der Fehlerfunktion in Form einer Fixpunktgleichung. Als Information über die zu beurteilende Näherungslösung geht die formelmäßig berechenbare Defektfunktion bezüglich der gegebenen Aufgabe ein. Der Integraloperator benutzt die Greensche Funktion zu einer durch Linearisierung des gegebenen Differentialoperators ableitbaren linearen Ersatzaufgabe. Wenn für die dabei auftretenden nichtlinearen Restoperatoren in einer gewissen Umgebung der Näherungslösung spezielle Lipschitz-Bedingungen 2. Ordnung erfüllt sind, führen Fixpunktsätze zu den gewünschten Abschätzungen. Da die Greensche Funktion im allgemeinen nicht exakt berechenbar ist, wurden in mehreren Arbeiten Möglichkeiten für Normabschätzungen untersucht und für den gewünschten Zweck praktikabel gemacht.
Die automatische Berechnung von Fehlerabschätzungen setzt voraus, dass für die bei nichtlinearen Aufgaben auftretenden Lipschitz-Beziehungen praktikable Abschätzungen gefunden werden können. Möglich wird dies durch Implementierung eines angepaßten ''Lipschitz-Kalküls'' auf der Basis der speziell für diesen Zweck geeigneten Abschätzungen 2. Ordnung [10]. Es werden Lipschitz-Beziehungen für alle an der Aufgabenklasse beteiligten Basisfunktionen bereitgestellt. Gemäß der analysierten Syntaxstruktur der abzuschätzenden Formel wird daraus die Gesamtabschätzung zusammengesetzt. Anwendung finden dabei relativ komplexe Ableitungsregeln für Addition, Subtraktion, Multiplikation und Substitution von bereits abgeschätzten Teilformeln.
Die hier kurz skizzierte Anwendung von Computeralgebra-Systemen zur Berechnung analytischer Näherungslösungen für gewöhnliche Differentialgleichungen und der dazu gehörigen Fehleraussagen veranschaulicht die für Algorithmen der Computeranalytik typische Nutzung von Computern in einer gemischt symbolisch-numerischen Weise.
Im Vergleich zu den enormen Fortschritten der letzten Jahrzehnte im Bereich der Entwicklung, Implementierung und Anwendung von Algorithmen der Computeralgebra steht die Entwicklung des Konzeptes, Computeralgebra-Systeme für kontrollierte Näherungslösungen in Analogie zur Numerischen Mathematik zu nutzen, sicher erst am Anfang und bedarf weiterer intensiver Forschungs- und Entwicklungsarbeit.
Literatur: