Berechnung der Galoisgruppe einer Differentialgleichung

Julia Hartmann (Heidelberg)

julia.hartmann@iwr.uni-heidelberg.de

Differential-Galoistheorie ist die algebraische Theorie linearer homogener gewöhnlicher Differentialgleichungen¹. Analog zur gewöhnlichen Galoistheorie ordnet man einer Differentialgleichung eine Galoisgruppe zu, die sozusagen die Symmetriegruppe des Lösungsraumes ist. Anders als im polynomialen Fall (siehe
z. B. [vdW53]) war die Berechnung dieser Galoisgruppe zu einer gegebenen Differentialgleichung ein lange ungelöstes Problem. Erst kürzlich wurde von E. Hrushovski [Hru02] ein Algorithmus entwickelt, der (wenigstens theoretisch) die Galoisgruppe einer Differentialgleichung beliebiger Ordnung mit Koeffizienten in ${\mathbb{Q}}(t)$ bestimmt. Dieser Algorithmus soll hier vorgestellt werden.

Differential-Galoistheorie. Unser Grundkörper ist der rationale Funktionenkörper $F=\bar{\mathbb{Q}}(t)$ mit der üblichen Ableitung $\frac{d}{dt}$ (oder allgemeiner ein Differentialkörper der Charakteristik Null²mit algebraisch abgeschlossenem Konstantenkörper).

Zu einer Differentialgleichung mit Koeffizienten in $F$ assoziieren wir einen Erweiterungskörper $E\geq F$ (ebenfalls mit Ableitung), die sogenannte Picard-Vessiot-Erweiterung. Diese enthält eine Basis des Lösungsraumes und ist in gewissem Sinne minimal mit dieser Eigenschaft, ganz analog zum Zerfällungskörper eines Polynoms.

Wie findet man einen solchen Körper? Denken wir uns unsere Differentialgleichung in Matrixform $Y'=AY$ mit einer $n\times n$-Matrix mit Koeffizienten in $F$ gegeben. Wir adjungieren nun zum Grundkörper die $n^2+1$ Unbekannten $x_{ij}$ ( $i,j=1,\ldots,n$) und $z$, die als einzige Relation $\det\left( (x_{ij})_{i,j=1}^n\right) = z^{-1}$ erfüllen sollen. Auf dem so gewonnenen Ring $U$ definieren wir eine Ableitung durch $X'=AX$ mit $X = (x_{ij})_{i,j=1}^n$. In diesem Ring besitzt unsere Differentialgleichung (per Konstruktion!) eine Fundamentalmatrix und damit $n$ über dem Konstantenkörper linear unabhängige Lösungen. Im allgemeinen ist dieser Ring aber noch zu groß. Deshalb betrachten wir Ideale in $U$, die unter der Ableitung in sich abgebildet werden (Differentialideale) und unter diesen ein maximales Element $P$. Ein solches Ideal $P$ besteht aus allen algebraischen Relationen zwischen den Lösungen der Differentialgleichung. Im Quotienten $U/P$ hat die Gleichung immer noch $n$ unabhängige Lösungen, und die Relationen sind berücksichtigt. Zudem kann man nachweisen, dass $U/P$ nullteilerfrei ist, und der Quotientenkörper $E$ ist in der Tat eine Picard-Vessiot-Erweiterung.

Die Differential-Galoisgruppe $G$ ist nun die Gruppe aller Automorphismen von $E$, die auf $F$ trivial operieren und mit der Ableitung verträglich sind. Im Sinne unserer Konstruktion lässt sich das auch anders formulieren: $G$ ist die grö"ste Untergruppe von $\operatorname{GL}_n$, die bei Operation durch Multiplikation auf $X$ (und damit auf $U$) das maximale Differentialideal $P$ stabilisiert. Daraus ersieht man zusätzlich, dass $G$ als Untergruppe der $\operatorname{GL}_n$ Zariski-abgeschlossen, also eine lineare algebraische Gruppe ist.

Bevor wir uns der Berechnung dieser Gruppe zuwenden, sei noch bemerkt, dass es für die Differential-Galoisgruppe und die Picard-Vessiot-Erweiterung eine Galoiskorrespondenz ähnlich zu der im polynomialen Fall gibt. Ausserdem ist im Falle einer algebraischen Picard-Vessiot-Erweiterung auf Grund der dann eindeutigen Fortsetzbarkeit der Derivation jeder Automorphismus von $E$ über $F$ verträglich mit der Derivation, so dass die Differential-Galoisgruppe mit der gewöhnlichen Galoisgruppe übereinstimmt. Die Differential-Galoistheorie ist damit eine natürliche Verallgemeinerung der (endlichen) gewöhnlichen Galoistheorie auf transzendente Erweiterungen.

Für eine kurze Einführung in die Differential-Galoistheorie sei auf [vdP99] verwiesen.

Die Vorgeschichte. Wie eingangs erwähnt, ist die Frage nach der Berechenbarkeit der Differential-Galoisgruppe nicht neu. Vermutlich die erste Untersuchung dieses Problems findet man in der Dissertation von F. Marotte [Ma98], in der insbesondere Gleichungen vom Grad zwei, drei und vier betrachtet werden. Der erste Schritt in Richtung eines praktisch anwendbaren Algorithmus wurde von Kovacic in [Kov86] für unimodulare Differentialgleichungen der Ordnung zwei gemacht (unimodulare Gleichungen sind solche, deren Galoisgruppe sogar in $\operatorname{SL}_n$ liegt). Sein Algorithmus berechnet auch die Lösungen; er basiert auf der Kenntnis der Untergruppen von $\operatorname{SL}_2$. Verschiedene Autoren haben im Anschluss
daran Algorithmen zur Berechnung von Galoisgruppen der Ordnungen 3, 4 und 5 gegeben (siehe [SvdP03], Chapter 4 für Referenzen).

Für die Berechnung von Galoisgruppen von Polynomen gibt es ein Verfahren (oft Stauduhar-Verfahren genannt), das auf der Kenntnis des Untergruppenverbandes der jeweiligen symmetrischen Gruppe und der Berechnung sogenannter relativer Invarianten beruht. Dies sind Relationen, die unter einer maximalen Untergruppe einer betrachteten Gruppe invariant sind, nicht aber unter der vollen Gruppe, und mit deren Hilfe sich die Galoisgruppe in einer Art Ausschlussverfahren bestimmen lässt.

In der Differential-Galoistheorie kannte man schon seit l"angerem Methoden zur Berechnung von rationalen Lösungen (das sind Lösungen im Grundkörper) sowie von Lösungen $f$, deren logarithmische Ableitung $\frac{f'}{f}$ im Grundkörper liegt. Solche Lösungen werden unter der Galoisoperation auf sich selbst bzw. auf skalare Vielfache abgebildet und entsprechen deshalb eindimensionalen $G$-invarianten bzw. $G$-stabilen Unterräumen im Lösungsraum.

Im Prinzip sind die oben genannten Algorithmen Versuche die Idee des Stauduhar-Verfahrens mit Hilfe $G$-stabiler Unterr"aume auf Differentialgleichungen kleinen Grades anzuwenden. Da es in der $\operatorname{GL}_n$ Gruppen
(z. B. die multiplikative Gruppe ${\mathbb{G}}_m$) gibt, die keine maximalen Untergruppen besitzen, ist die Wirkungsweise solcher Verfahren sehr beschränkt.

Galois-stabile Unterräume. Denken wir noch einmal an die Charakterisierung der Galoisgruppe durch das Ideal $P$. Als Ideal in einem noetherschen Ring ist dieses endlich erzeugt, und wenn wir eine obere Schranke $d$ an den Grad der Erzeuger kennen würden, könnten wir die Galoisgruppe folgendermaßen bestimmen: Wir betrachten den Unterring von $U$ bestehend aus allen Polynomen in den Variablen $x_{ij}$ vom Grad höchstens $d$. Diese Polynome bilden einen endlichdimensionalen Vektorraum $\tilde{W}$ über $F$, auf dem $G$ operiert und den Unterraum $W=\tilde{W}\cap P$ stabilisiert. Durch Bildung von sogenannten symmetrischen Potenzen der Differentialgleichung und direkten Summen davon (die als Lösungsraum die entsprechenden Potenzen bzw. Summen von Potenzen des ursprünglichen Lösungsraumes haben) kann aus der gegebenen Gleichung eine neue konstruiert werden, auf deren Lösungsraum $G$ gerade so operiert wie auf $W$. Da nach Wahl von $d$ das Ideal $P$ von $W$ erzeugt wird, ist $G$ sogar die größte Untergruppe von $\operatorname{GL}_n$, die $W$ stabilisiert. Durch Berechnung geeigneter äußerer Potenzen der Differentialgleichung gelangt man zu einer Gleichung, in deren Lösungsraum das Bild von $W$ eine $G$-stabile Gerade ist, und damit berechenbar.

Das Problem ist also, dass wir eine Schranke $d$ nicht kennen. Für bestimmte Gruppen lässt sich hier Abhilfe schaffen. In seiner Dissertation hat E. Compoint [Com98] gezeigt, dass, falls $G$ reduktiv ist, das Ideal $P$ von Invarianten von $G$ erzeugt wird. Für die Invarianten reduktiver Gruppen existieren diverse Gradschranken, und in [CS99] wird ein Verfahren angegeben, wie diese aus der Differentialgleichung bestimmt werden können, was nach unseren Vorüberlegungen einen Algorithmus zur Berechnung von $G$ im reduktiven Fall ergibt.

Wendet man die obige Vorgehensweise mit einem $d'$ an, das nicht die Eigenschaft von $d$ hat, und bestimmt man dann die größte Untergruppe $\tilde{G}$ von $\operatorname{GL}_n$, die den Unterraum $W$ stabilisert, so ist diese Gruppe im allgemeinen echt größer als $G$. Hrushovskis Idee lässt sich nun ganz grob so beschreiben: Sein Verfahren bestimmt zunächst ein $d'$, für das sich der Fehler zwischen $\tilde{G}$ und $G$ kontrollieren lässt. Erstaunlich ist dabei, dass diese Hilfsschranke $d'$ nur von $n$ abhängt, nicht aber von einer bestimmten Differentialgleichung.

Beschränkt definierbare Familien. Um Hrushovskis Idee besser verstehen zu können, müssen wir uns mit bestimmten Familien von Untergruppen der $\operatorname{GL}_n$ beschäftigen. Im Koordinatenring der $\operatorname{GL}_n$ (dem Ring $U$, den wir bereits kennengelernt haben) gibt es zu jeder abgeschlossenen Untergruppe der $\operatorname{GL}_n$ ein definierendes Ideal. Wir nennen nun eine Familie $\mathcal{F}$ von Untergruppen der $\operatorname{GL}_n$ beschränkt definierbar³, falls es eine gemeinsame obere Schranke $r$ gibt, so dass die definierenden Ideale aller Elemente aus $\mathcal{F}$ von Polynomen vom Grad höchstens $r$ erzeugt werden.

Beispiele für solche Familien lassen sich leicht geben: Die Familie aller Bilder der additiven Gruppe ${\mathbb{G}}_a$ in $\operatorname{GL}_n$ ist beschränkt definierbar, da jede solche Gruppe Bild einer nilpotenten $n\times n$-Matrix unter der Exponentialfunktion ist. Daraus kann man folgern, dass auch die Familie der unipotent erzeugten Untergruppen der $\operatorname{GL}_n$ beschränkt definierbar ist. Aber natürlich haben nicht alle Familien diese Eigenschaft: Die Familie der Bilder der multiplikativen Gruppe ${\mathbb{G}}_m$ in $\operatorname{GL}_2$ zum Beispiel ist nicht beschränkt definierbar, da es zu jedem $m\in {\mathbb{N}}$ die Einbettung ${\mathbb{G}}_m\hookrightarrow \operatorname{GL}_2$, $x\mapsto \begin{pmatrix}x&0\\ 0&x^m\end{pmatrix}$ gibt.

Die oben erwähnte Familie der unipotent erzeugten Untergruppen der $\operatorname{GL}_n$ ist recht groß. Der Quotient einer beliebigen abgeschlossenen Untergruppe $H$ von $\operatorname{GL}_n$ nach der maximalen unipotent erzeugten Untergruppe $H^u$ hat als Zusammenhangskomponente einen Torus. Dies deutet bereits darauf hin, dass sich Untergruppen der $\operatorname{GL}_n$ durch Elemente beschränkt definierbarer Familien gut approximieren lassen. Präzise wird das in dem folgenden Satz.

Satz 1.1   Es gibt eine beschränkt definierbare Familie $\mathcal{F}$ in $\operatorname{GL}_n$ mit folgender Eigenschaft: Zu jeder abgeschlossenen Untergruppe $H\leq \operatorname{GL}_n$ gibt es ein Element $M \in \mathcal{F}$ mit $H\leq M$ und $M^t\leq H^0$. Diese Familie ist berechenbar.

Abgesehen von ähnlich einfachen Beispielen beschränkt definierbarer Familien wie oben geht in den Beweis dieses Satzes die Existenz einer sogenannten Jordan-Schranke ein: Dies ist eine von $n$ abhängige Zahl $J(n)$ mit der Eigenschaft, dass jede endliche Untergruppe der $\operatorname{GL}_n$ einen abelschen Normalteiler vom Index höchstens $J(n)$ besitzt (siehe z. B. [Sin81]).

Zu $k\in \mathbb{N}$ und $V\cong\bar{{\mathbb{Q}}}^n$ betrachten wir die Menge $\operatorname{N}_k(V^n)$ aller Zariski-abgeschlossenen Teilmengen von $V^n$, die durch Polynome vom Grad höchstens $k$ definiert sind (wobei der Grad bezüglich einer Dualbasis von $V$ gemeint ist). Damit definieren wir die Familie

$$\mathcal{F}_{k}=\{\operatorname{Stab}_{\operatorname{GL}_n}(U) \vert\; U \in \operatorname{N}_k(V^n)\}.$$

Auch dies ist eine beschränkt definierbare Familie.

Der Schlüssel zu Hrushovskis Verfahren ist nun der nächste Satz, der Satz  für die Berechnung nutzbar macht:

Satz 1.2   Die Familie $\mathcal{F}$ aus Satz  kann von der Form $\mathcal{F}_{k}$ gewählt werden und die Zahl $k$ ist berechenbar.

Der Algorithmus. Gegeben sei eine Differentialgleichung mit Koeffizienten in ${\mathbb{Q}}(t)$.⁴Wir können nun den Algorithmus von Hrushovski formulieren:

Algorithmus 1.3   Berechnung von $G$:

1.

Berechne eine Schranke $d$, für die $\mathcal{F}_{d}$ die Eigenschaft von Satz besitzt.

2.

Es sei $H\leq \operatorname{GL}_n$ die größte Untergruppe, die alle $G$-stabilen Unterräume von $\operatorname{N}_d(V^n)$ stabilisiert.

3.

Berechne eine endliche Erweiterung $L/\mathbb{Q}(t)$ und eine endliche Menge $S$ von Gleichungen, so dass $H^0 = \{g \in \operatorname{GL}(V) \vert\; gf=f$    für alle $f \in S\}$.

4.

Berechne das Bild $A$ von $G^0$ in $H^0/H^u$.

5.

Definiere $G^0$ als das Urbild von $A$ in $\operatorname{GL}_n$.

6.

Berechne eine endliche Erweiterung $\tilde{L}/F$ und eine $\operatorname{Gal}(\tilde{L}/F)$-stabile Menge $\tilde{S}$ von Gleichungen, so dass $G^0 = \{g \in \operatorname{GL}(V) \vert\; gf=f$    für alle $f \in \tilde{S}\}$.

7.

Definiere $G=\{g \in \operatorname{GL}(V)\vert\; \exists \sigma \in \operatorname{Gal}(\t... ...: \forall f \in \tilde{S}: f^\sigma(gv_1,\ldots,gv_r) \cong f(v_1,\ldots,v_r)\}$.

Wie man die $G$-stabilen Unterräume im 2. Schritt findet, haben wir bereits oben geklärt. Der 3. Schritt besteht aus der Berechnung der Zusammenhangskomponente einer algebraischen Varietät und der Bestimmung einer algebraischen Lösung der in Schritt 2 berechneten Gleichungen. Im 4. Schritt ist die Berechnung des Bildes von $G^0$ in $H^0/H^u$ gefragt. Wir wissen bereits, dass es sich bei diesem Bild um einen Torus handelt. Um diesen Torus zu bestimmen, muss man im Wesentlichen alle Elemente der Picard-Vessiot-Erweiterung berechnen, deren logarithmische Ableitungen in $L$ liegen. Methoden hierfür findet man z. B. in [CS99]. In Schritt 6 wird ähnlich wie in Schritt 3 verfahren; der letzte Schritt verwendet schließlich die Berechenbarkeit der Operation der endlichen Gruppe $\operatorname{Gal}(L/F)$.

Hrushovskis Ziel war es einen allgemeinen Algorithmus anzugeben; über die Laufzeit vermutet er, dass sie höchstens doppelt exponentiell ist. Eine wirklich praktikable und implementierbare Version des Algorithmus zu entwickeln ist sicher eines der Projekte, die in der algorithmischen Differential-Galoistheorie demnächst anzugehen sind.

Abschließend bleibt noch zu bemerken, dass die Arbeit von Hrushovski Begriffe der Logik verwendet. Alle Aussagen wurden hier in die Sprache der kommutativen Algebra übertragen. Trotzdem sollte der interessierte Leser die entscheidenden Stellen in der Originalarbeit wiederfinden können.