Das Programm GeoGebra hat in der vergangenen Zeit für viel Aufsehen gesorgt. Wir möchten in dieser Ausgabe des Computeralgebra-Rundbriefs zunächst den Autor selbst zu Wort kommen lassen. In der nächsten Ausgabe werden wir dann GeoGebra sowohl aus der Sicht der Computeralgebra als auch der dynamischen Geometrie näher betrachten. Teilen Sie uns dazu auch bitte Ihre Erfahrungen mit GeoGebra an kortenkamp@math.tu-berlin.de mit.

Ulrich Kortenkamp (Berlin)

GeoGebra: Dynamische Geometrie, Algebra und Analysis für die Schule

Markus Hohenwarter (Salzburg)

markus.hohenwarter@sbg.ac.at

Dynamische-Geometrie-Software (DGS) und Computeralgebrasysteme (CAS) haben den Mathematikunterricht verändert. GeoGebra ist eine neue Software für die Schule, die versucht, die Möglichkeiten von DGS und CAS miteinander auf bidirektionale Weise zu verbinden. In diesem Artikel wird darauf eingegangen, warum eine solche Verbindung sinnvoll ist und wie diese aussehen kann.

Vergleich

Dynamische-Geometrie-Software und Computeralgebrasysteme sind aus dem Mathematikunterricht nicht mehr wegzudenken und ihr Einsatz wird inzwischen auch in den Lehrplänen gefordert: Mathematiknahe Technologien wie Computeralgebrasysteme, dynamische Geometrie-Software [...] sind im heutigen Mathematikunterricht unverzichtbar. (AHS-Oberstufenlehrplan für Österreich 2004). Da GeoGebra auf Ideen dieser beiden Softwaretypen basiert, werden ihre grundlegenden Eigenschaften im Folgenden zunächst verglichen.

Dynamische Geometrie
Es gibt mittlerweile eine Vielzahl von DGS, die sich in ihrer Ausrichtung und ihrem Funktionsumfang teilweise beträchtlich unterscheiden. Einige prominente Vertreter sind Cabri, Cinderella, Geometer's Sketchpad sowie Euklid Dynageo. Trotz aller Unterschiede haben alle diese Systeme zwei wichtige Eigenschaften gemeinsam: den Zugmodus und die Konzentration auf die geometrische bzw. grafische Repräsentation mathematischer Objekte. Der Zugmodus unterscheidet ein DGS von einem bloßen Zeichenprogramm und bietet durch die Dynamik der grafischen Darstellung einen echten Mehrwert gegenüber Papier und Bleistift. Die grafische Repräsentation steht bei allen DGS stark im Vordergrund; typischerweise können auf einem Zeichenblatt mit der Maus Konstruktionen erstellt und dynamisch variiert werden.

Computeralgebra
Auf Seiten der CAS sind unter anderem Derive, Mathematica, Maple und MuPad für die Schule zu nennen. Die Unterschiede hinsichtlich der Funktionalität und Bedienung der einzelnen Programme sind enorm. Als grundlegende gemeinsame Eigenschaften sollen hier nur die folgenden beiden Punkte festgehalten werden: symbolisches Rechnen und die Konzentration auf die algebraische und numerische Repräsentation mathematischer Objekte. Beim symbolischen Rechnen ist für die Schule beispielsweise das Finden der Ableitung oder des Integrals einer Funktion sowie das Lösen von Gleichungen wichtig. Die algebraische Seite der Mathematik steht bei einem CAS stets im Mittelpunkt. Dies zeigt sich auch daran, dass die Eingabe mittels algebraischer Ausdrücke, Zahlen und Befehle erfolgt.

Unterschiede
Mathematische Objekte sind nicht direkt, sondern nur über Repräsentationen zugänglich: ... there is no other way of gaining access to the mathematical objects but to produce some semiotic representations. [1]. DGS und CAS haben in diesem Sinne unterschiedliche Sichtweisen auf mathematische Objekte, da sie von einer geometrischen bzw. algebraischen Repräsentation ausgehen.

Ein weiterer wichtiger Unterschied zwischen diesen beiden Softwaretypen betrifft die Dynamik: Den CAS fehlt meist ein Pendant zum Zugmodus. Sie erlauben zwar häufig die grafische Darstellung von Gleichungen und Funktionen; diese kann jedoch üblicherweise nicht direkt beeinflusst werden. Selten gibt es in CAS eine dynamische Kopplung von Parametern und grafischer Darstellung (z.B. in LiveMath). Für diesen Zweck wird in der Schule daher gerne auf Tabellenkalkulationen zurückgegriffen. Umgekehrt bieten DGS keine bis wenige Möglichkeiten der direkten Eingabe von Gleichungen oder des symbolischen Rechnens. Es können zwar Gleichungen und Koordinaten angezeigt werden; eine direkte Manipulation derselben ist aber kaum möglich.

Eine Verbindung

Warum und wie?
Es liegt nahe darüber nachzudenken, die beiden Softwaretypen für den Einsatz im Mathematikunterricht zu verbinden [5,6]. Dabei stellen sich aus meiner Sicht zwei Fragen:

1. Warum soll man die Möglichkeiten von DGS und CAS überhaupt verbinden?
2. Wie soll eine solche Verbindung konkret aussehen?

Die Antworten auf diese beiden Fragen hängen natürlich zusammen. Zunächst einmal sollte ein solches System Schülerinnen und Schülern helfen, Mathematik besser bzw. leichter zu verstehen. Dabei spielt der Wechsel zwischen verschiedenen Repräsentationen eine wichtige Rolle: There is no true understanding in mathematics for students who do not incorporate into their cognitive architecture the various registers of semiotic representations used to do mathematics. [1].

Die Verbindung mehrerer Repräsentationen bringt also Vorteile für das Verständnis von Mathematik. Dabei ist aber natürlich nicht ein bloßes Nebeneinander, sondern ein Miteinander entscheidend: Wichtig sind die übergänge von der einen in die andere Repräsentation. Ein System, das DGS und CAS verbindet, sollte daher den Wechsel zwischen geometrischer und algebraischer Repräsentation ermöglichen und zwar am besten in beide Richtungen, also bidirektional.

Bidirektionale Verbindung
Diese Art der Verbindung geht deutlich über eine bloße Koppelung eines DGS mit einem CAS hinaus. Es geht also nicht bloß darum eine technische Schnittstelle zwischen diesen beiden Welten zu definieren, sondern neue Möglichkeiten zu schaffen.

Abb. 1: Verbindung von DGS und CAS

Das geforderte System umfasst die in Abbildung 1 skizzierten Bereiche 1, 2, und 3, wobei die neuen Möglichkeiten im Bereich 3 anzusiedeln sind. Ein konkretes Beispiel dazu:

Bereich 1: Ein Kreis kann in einem DGS dynamisch konstruiert und seine Gleichung angezeigt werden.

Bereich 2: Ein Kreis kann in einem CAS mit Hilfe seiner Gleichung eingegeben und als statisches Bild dargestellt werden.

Bereich 3: Ein Kreis kann mit Hilfe seiner Gleichung eingegeben und dynamisch mit der Maus verschoben werden.

Ein System, das alle drei Bereiche abdeckt, erlaubt damit einen bidirektionalen Wechsel zwischen Kreisbild und Kreisgleichung. In diesem Fall werden dazu im Bereich 3 die Möglichkeiten des CAS um die Dynamik des Zugmodus erweitert.

Die eierlegende Wollmilchsau
Ein solches Programm kann und muss dabei nicht sämtliche Möglichkeiten von DGS und CAS umfassen. Wie gesagt geht es eher um neue Möglichkeiten des Nebeneinanders und des Wechsels zwischen den verschiedenen Repräsentationsformen. Dafür eignen sich nicht alle Funktionen eines DGS bzw. CAS gleich gut.

Wie ein solches System konkret aussieht, hängt natürlich von vielen Designentscheidungen ab: Wie soll die Benutzeroberfläche aussehen? Welche Grundobjekte soll es geben? Welche Operationen sollen mit diesen Grundobjekten möglich sein? Welche Konsequenzen ergeben sich daraus für den Bereich der neuen Möglichkeiten?

GeoGebra

GeoGebra steht für dynamische Geometrie und Algebra und stellt eine Realisierung eines solchen bidirektionalen Systems dar. Im Folgenden soll auf einige Designentscheidungen bei der Entwicklung von GeoGebra eingegangen werden.

KISS-Prinzip
KISS ist ein Akronym und steht für Keep it small and simple!, was soviel bedeutet wie Gestalte es einfach und überschaubar!. Dieses aus der Informatik stammende Prinzip war und ist eine zentrale Leitidee bei der Entwicklung von GeoGebra. Als Unterrichtssoftware soll das System möglichst einfach zu bedienen sein, damit Schülerinnen und Schüler auch selbst damit Mathematik entdecken können. Die Verwendung einer Mathematiksoftware erfordert neben mathematischem Wissen natürlich auch Wissen über die Bedienung der Software selbst. Diese zusätzliche Hürde sollte daher möglichst klein gehalten werden.

In GeoGebra orientiert sich die algebraische Eingabe nahe an der Schulnotation. Eine Gerade kann als $g: 3x + 4y = 7$, ein Kreis als $k: (x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 25$ und eine Funktion als $f(x) = x^3 - 2x$ eingegeben werden. In den CAS sind üblicherweise alle Befehle nur auf Englisch verfügbar. GeoGebra verwendet Befehlsnamen in der aktuell eingestellten Sprache der Benutzeroberfläche.

Algebrafenster und Zeichenblatt
Eine im Mathematikunterricht verwendete Software beeinflusst auch die Art, wie Schülerinnen und Schüler Mathematik sehen und betreiben [4]. GeoGebra bietet daher zwei parallele Repräsentationen der mathematischen Objekte: ein Algebrafenster und ein Geometriefenster.

Abb. 2: Oberfläche von GeoGebra

Grundobjekte
Die Grundobjekte eines DGS sind gewöhnlich Punkte, Geraden, Strecken, Vielecke, Kreise und manchmal auch allgemeine Kegelschnitte. In GeoGebra gibt es zusätzlich auch Vektoren (DGS kennen teilweise nur Pfeile, aber keine Vektoren). An Grundobjekten aus dem CAS-Bereich wurden Zahlen (bzw. Parameter), Winkel, polynomiale Gleichungen 1. und 2. Grades (für Geraden und Kegelschnitte) und später Funktionen implementiert.

Operationen
Entscheidend für den Bereich der neuen Möglichkeiten (Abb. 1, Bereich 3) sind natürlich die Operationen auf diesen Grundobjekten. Ein CAS kann Kegelschnittgleichungen zwar darstellen (implicit plot), es weiß jedoch nicht, dass es sich bei einer solchen Gleichung um einen Kegelschnitt handelt. In GeoGebra werden eingegebene Gleichungen klassifiziert und als Gerade oder Kegelschnitt erkannt. Damit sind nun geometrische Operationen für diese erkannten Objekte möglich: Schneiden mit anderen Objekten, Drehen, Spiegeln, Verschieben, Bestimmung von Mittelpunkt, Scheitel, Hauptachsen usw. Umgekehrt kann mit geometrischen Objekten wie Vektoren und Punkten gerechnet werden. Der Mittelpunkt einer Strecke $AB$ könnte also als $M = (A + B) / 2$ oder $M = A + 1/2 (B-A)$ bestimmt werden. Auf weitere besondere Operationen wird weiter unten eingegangen.

Konsequenzen
Durch die Festlegung der Grundobjekte müssen diese eindeutig unterschieden werden. Stellt beispielsweise das Koordinatenpaar $(3,2)$ einen Punkt oder einen Vektor dar? GeoGebra löst dies durch folgende Konventionen: Punkte haben Groß- und Vektoren Kleinbuchstaben als Namen. Es liefert daher $P = (3,2)$ einen Punkt und $v = (3,2)$ einen Vektor. Ein namenloses Koordinatenpaar ist ein Punkt, und um einen namenlosen Vektor zu erhalten, gibt es den Befehl Vektor[(3,2)]. Der Befehl Gerade[(1,1), (3,2)] liefert damit eine Gerade durch die Punkte $(1,1)$ und $(3,2)$. Mit Gerade[(1,1),Vektor[(3,2)]] erhält man hingegen eine Gerade durch den Punkt $(1,1)$ mit Richtung $(3,2$).

Ein ähnliches Unterscheidungsproblem gibt es bei der Parabel $y = x^2$. Handelt es sich hierbei um einen Kegelschnitt oder um eine Funktion in $x$? Dies macht deshalb einen Unterschied, weil ein Kegelschnitt beispielsweise gedreht werden kann, eine Funktion aber nicht. Umgekehrt kann eine Funktion differenziert oder integriert werden, ein Kegelschnitt jedoch nicht. Kurz: mit Kegelschnitten sind andere Operationen möglich als mit Funktionen. Wieder wird dies in GeoGebra durch eine Konvention gelöst: Eine Funktion wird als $f(x)=x^2$ oder nur $x^2$ geschrieben. Eine polynomiale Gleichung zweiten Grades in $x$ und $y$ wie etwa $y = x^2$ wird als Kegelschnitt interpretiert.

Neue Möglichkeiten

GeoGebra bietet im Wesentlichen alle Funktionen eines DGS und kann natürlich auch wie ein solches zum Konstruieren verwendet werden. Im Folgenden soll jedoch auf die neuen Möglichkeiten durch die Einführung der Bidirektionalität eingegangen werden.

Analytische Geometrie
Die ersten Versionen von GeoGebra [3] waren vor allem für den Einsatz im Bereich der analytischen Geometrie prädestiniert. Als interessante neue Möglichkeiten sind hier vor allem die Untersuchung von Zusammenhängen zwischen Parametern und geometrischer Figur zu nennen. Ein Beispiel ist die Bedeutung der Parameter $p$ und $q$ in der Parabelgleichung $y = x^2 + p x + q$. In einem MathView-Arbeitsblatt beeinflusst eine Veränderung von $p$ oder $q$ auch den Plot der Parabel dynamisch [2]. Ein solches Arbeitsblatt kann auch mit GeoGebra erstellt werden, wobei die Veränderung der Parameter in GeoGebra auch mittels Pfeiltasten kontinuierlich möglich ist.

GeoGebra ermöglicht nun auch eine bidirektionalen Untersuchung einer Parabelgleichung: Geht man etwa von der Parabel $y = x^2 + x + 1$ aus, so kann diese sowohl durch Veränderung ihrer Gleichung als auch durch Ziehen ihrer geometrischen Darstellung mit der Maus verändert werden. Es sind also beide Repräsentationen direkt beeinflussbar.

Zusätzlich bietet GeoGebra auch geometrische Befehle, die ein CAS nicht kennt, die für den Einsatz in der Schule aber sehr hilfreich sein können: der Befehl Scheitel[par] liefert etwa den Scheitelpunkt der Parabel und kann Ausgangspunkt für eine Untersuchung der Zusammenhänge zwischen Scheitelpunkt und Parabelgleichung sein.

Dynamische Analysis
Anfangs beschränkten sich die symbolischen Fähigkeiten von GeoGebra auf die Polynomvereinfachung zur Bestimmung der Normalform von Kegelschnitten. Damit wird etwa die Gleichung $x + y^2 = y + y^2$ intern in $x - y = 0$ umgewandelt und als Gerade erkannt. Dies ermöglicht die Eingabe von Geraden und Kegelschnittsgleichungen in beliebiger Form. Mit der Version 2.0 wurde das neue Grundobjekt Funktion in $x$ eingeführt und damit das Tor zur Welt der dynamischen Analysis aufgestoßen. Auch für Funktionen gilt nämlich der bidirektionale Ansatz: So ist es möglich den Graphen einer Funktion mit der Maus zu ziehen oder mit den Pfeiltasten zu verschieben, wobei gleichzeitig die algebraische Repräsentation dynamisch verändert wird.

Abb. 3: Dynamische Kurvendiskussion

Seit Anfang dieses Jahres ermöglicht GeoGebra auch die symbolische Berechnung von Ableitungen und Integralen. Lässt man sich nun die Ableitung oder das Integral einer Funktion $f$ anzeigen, so werden diese abhängigen Funktionen beim Ziehen von $f$ mit der Maus dynamisch verändert. Diese neue Möglichkeit nenne ich dynamisches Differenzieren bzw. Integrieren. Da in GeoGebra alle Parameter aller Befehle dynamisch abhängig sind, kann sogar die Ordnung einer Ableitung über einen Zahlparameter oder eine Streckenlänge dynamisch verändert werden.

Eine wichtige Anwendung von CAS in der Schule ist das Lösen einfacher Polynomgleichungen. Die geometrische Entsprechung dazu sind Schnittoperationen bzw. die Nullstellenbestimmung von Polynomen. Das Schneiden von Geraden und/oder Kegelschnitten war in GeoGebra von Anfang an möglich. Für Funktionen wurden diese Schnittoperationen mit der aktuellen Version 2.4 realisiert. Die Befehle Nullstelle, Extremum und Wendepunkt erlauben zusammen mit dem Zugmodus für Funktionen eine dynamische Kurvendiskussion (Abb. 3).

Abb. 4: Dynamische Unter- und Obersumme

Weitere Besonderheiten
Eine Besonderheit von GeoGebra ist die grafische Darstellung bestimmter Zahlenwerte. Beispielsweise wird die Steigung einer Geraden als Steigungsdreieck oder das bestimmte Integral einer Funktion als Fläche zwischen $x$-Achse und Funktionsgraph automatisch visualisiert. Unter- und Obersummen werden durch Rechtecke dargestellt und können im Hinblick auf Funktion, Intervallgrenzen und Anzahl der Rechtecke dynamisch verändert werden (Abb. 4).

Das interaktive, dynamische Konstruktionsprotokoll ermöglicht die schrittweise Wiederholung einer Konstruktion, das nachträgliche Einfügen von Konstruktionsschritten an beliebiger Stelle und sogar das ändern der Konstruktionsreihenfolge. Mit GeoGebra können übrigens auch dynamische Arbeitsblätter für einen Internet-Browser erstellt werden. Solche Arbeitsblätter sind besonders dann nützlich, wenn die Schülerinnen und Schüler mit der Bedienung der Software noch nicht so vertraut sind. Beispiele für solche dynamischen Arbeitsblätter sind auf der Homepage von GeoGebra zu finden: www.geogebra.at.

Technisches
GeoGebra wurde von Grund auf neu in Java entwickelt. Die Software arbeitet weitgehend numerisch. Für symbolisches Differenzieren, Integrieren und Termvereinfachungen (simplify, expand, factor) wurde die JSCL (Java Symbolic Computing Library) in GeoGebra integriert. Für den EPS Export wird das Java EPS Graphics2D Package und für die Darstellung von LaTeX Formeln der Viewer HotEqn verwendet. GeoGebra ist open source und damit frei verfügbar nach der GNU General Public License.

Rück- und Ausblick
Die Entwicklung von GeoGebra wurde im Zuge meiner Diplomarbeit begonnen und wird derzeit im Rahmen einer Dissertation im Bereich Mathematikdidaktik an der Universität Salzburg fortgeführt. Dieses Dissertationsprojekt wird von der österreichischen Akademie der Wissenschaften gefördert. GeoGebra hat bereits mehrere Bildungssoftware-Preise gewonnen: European Academic Software Award 2002 (Ronneby, Schweden), L@rnie Award 2003 (Wien), digita 2004 (Köln) und Comenius 2004 (Berlin).

Durch den Einsatz der frei verfügbaren Software in Schulen und viele anregende Rückmeldungen von Lehrern wird die Funktionalität von GeoGebra ständig erweitert. Dabei wird großes Augenmerk darauf gelegt, bei allen Neuerungen Dynamik und Bidirektionalität zu ermöglichen. GeoGebra verbindet die Möglichkeiten von DGS und CAS in einer neuen Art und Weise, die hoffentlich zu einem verständlichen Mathematikunterricht beiträgt.