Computeralgebra – eine Säule des Wissenschaftlichen Rechnens

Das Rechnen mit beliebig langen Zahlen, mit Symbolen, Unbestimmten und Polynomen, das Faktorisieren von Zahlen und Polynomen, das Differenzieren von Polynomen und anderen Funktionen, das wesentlich schwierigere Auffinden von Stammfunktionen, das exakte Lösen polynomialer Gleichungssysteme oder von Differentialgleichungen sind einige konkrete Beispiele für Problemstellungen in der Computeralgebra.

Diese verschiedenartigen Beispiele haben eines gemeinsam: Im Gegensatz zur Numerischen Mathematik mit ihrer Gleitkommaarithmetik und Rundungsfehlerproblematik stehen hier exakte, algebraische und symbolische Rechnungen sowie die symbolische Manipulation von Formeln im Mittelpunkt. Es erscheint erstaunlich, dass nach 50 Jahren des Rechnens auf dem Computer wissenschaftliches Rechnen immer noch für weite Kreise fast ausschließlich mit numerischem Rechnen verbunden ist oder gar gleich gesetzt wird. Eine der Ursachen dafür ist mit Sicherheit, dass in den ersten Jahren und Jahrzehnten die Computertechnik nicht den hohen Speicher- und Prozessoranforderungen des symbolischen Rechnens genügte, und sich damit Erwartungen, wie sie schon im Jahre 1842 von Ada Augusta Countess of Lovelace über die Analytische Maschine von C. Babbage formuliert wurden, zunächst schnell als scheinbar unerfüllbar erwiesen:

Many persons … imagine that the business of the engine is to give results in numerical notations, the nature of its processes must consequently be arithmetical and numerical rather than algebraical and analytical. This is an error. The engine can arrange and combine its numerical quantities exactly as if they were letters or other general symbols; and in fact might bring out its results in algebraical notation were provisions made accordingly.

Zitiert nach Boyle, A.; Caviness, B.F. (Hrsg.): Future Directions for Research in Symbolic Computation. Report of a Workshop on Symbolic and Algebraic Computation, 1988, Washington, DC. Philadelphia: SIAM Reports on Issues in the Mathematical Sciences, 1990, p. 10.

Die Visionen der Countess of Lovelace haben sich mittlerweile erfüllt. Es ist Aufgabe der Fachgruppe, die weitere Entwicklung dieses vielseitigen Gebietes als Säule des wissenschaftlichen Rechnens zu fördern.

Anwendungen der Computeralgebra

Bei den Anwendungen mathematischer Methoden in Naturwissenschaft und Technik stehen traditionell numerische Methoden im Vordergrund. Mit den symbolischen Methoden der Computeralgebra haben sich neue Anwendungsgebiete eröffnet, bei denen es auf exakte Lösungen ankommt und bei denen strukturmathematische Überlegungen, z. B. zur Beschreibung von Symmetrien, eingehen; ferner die Behandlung von Problemen, die von unbestimmten Parametern abhängen.

Dazu gehören etwa:

In der Physik und ihren technologischen Anwendungen:
Gemischt symbolisch-numerische Berechnungen komplexer Probleme in der Himmelsmechanik, der Hochenergiephysik (Feynman-Integrale) und der Relativitätstheorie (Differentialgeometrie); Integration und Lösung von Differentialgleichungen in geschlossener Form; symbolische Berechnungen in den Algebren der Quantenmechanik; Klassifikation höherdimensionaler kristallographischer Gruppen zur Beschreibung von inkommensurabel modulierten Strukturen, Quasikristallen und magnetischen Strukturen.
In der Chemie:
Anwendungen der Darstellungstheorie auf die Klassifikation von Graphen chemischer Verbindungen, insbesondere von Isomeren; Lösung großer Gleichungssysteme zur Bestimmung chemischer Reaktionsgleichgewichte bei variablen Reaktionsbedingungen, z. B. bei Verbrennungsprozessen und der Abgasregulierung.
In der Sicherheitstechnik:
Algebraische Methoden der Fehlererkennung und -korrektur bei der Nachrichtenübertragung; kryptographische Kodierung von vertraulichen Nachrichten durch Public-Key-Verfahren mit Methoden der Zahlentheorie und der algebraischen Gruppen; Verifikation von Sicherheitsmechanismen (Protokollen).
In der Robotik:
Bewegungsplanung und Regulierung autonomer Roboter z. B. in der Raumfahrt; zylindrisch algebraische Zellenzerlegung des Rn; geometrische Bildverarbeitung beim Maschinensehen.
Im computergestützten Entwurf (CAD):
Flexible Inferenzsysteme für die geometrische Modellierung parametrisierter Probleme; Konstruktion von Übergangsflächen.
In der Kontrolltheorie:
Untersuchung der Stabilität und Sicherheit von Kontrollsystemen mit Rückkopplung.
In der Genforschung:
Klassifikation von DNA-Strukturen.
In der Ausbildung:
Computeralgebrasysteme versprechen eine Verbesserung des Mathematikunterrichts, da es durch ihren Einsatz möglich wird, sich mehr auf die Unterrichtsinhalte zu konzentrieren. Ferner ist die Behandlung realistischerer anwendungsbezogener Aufgaben möglich.

Die Methoden der Computeralgebra erlauben in diesen Anwendungsbereichen eine automatische Behandlung von Problemen, die sonst nur mühsam mit Ad hoc-Ansätzen angegangen werden konnten. Das große Potential dieser Methoden ist dabei noch lange nicht ausgeschöpft. Kontinuierliche Förderung dieser Anwendungen und der zugrundeliegenden Algorithmen kombiniert mit immer leistungsstärkerer Hardware werden dem Gebiet Computeralgebra weitere Entwicklungsmöglichkeiten geben.