Fachgruppentagung Kaiserslautern 2007 – Hauptvorträge

Prof. Dr. Gebhard Böckle (Universität Duisburg-Essen): Darmons Vermutungen zu Heegner Punkten

Sei F ein Zahlkörper und E eine elliptische Kurve über F. Eines der nach wie vor sehr schwierigen Probleme in der Zahlentheorie ist die Konstruktion aller F-rationalen Punkte auf der elliptischen Kurve E. Der Satz von Mordell-Weil besagt, dass die Menge E(F) dieser Punkte eine endlich erzeugte abelsche Gruppe bildet. Jedoch ist der Beweis hiervon nicht effektiv und lediglich der Torsionsanteil der Mordell-Weil Gruppe E(F) ist gut verstanden. Eine Hoffnung ist, dass ein besseres Verständnis der Mordell-Weil Gruppe zu einem Beweis der Vermutung von Birch und Swinnerton-Dyer (BSD) führen könnte. Diese bildet eine Verallgemeinerung der wohlbekannten Klassenzahlformel für Zahlkörper. Die BSD-Vermutung und genauere Kenntnisse der Mordell-Weil Gruppe könnten auch zu Anwendungen in der Kryptographie und insbesondere auf Kryptosysteme, die auf elliptischen Kurven basieren, führen.

Die einzig bekannte systematische Methode F-rationale Punkte auf elliptischen Kurven zu finden ist die Methode der Heegnerpunkte. Sie ist in ihrer ursprünglichen Form jedoch nur auf über Q definierte elliptische Kurven anwendbar und liefert Punkte über Q und über gewissen Strahlklassenkörpern imaginär quadratischer Körper. In Analogie zu dieser Methode hat H. Darmon in den vergangenen 10 Jahren eine Reihe von Algorithmen vorgeschlagen, welche `Heegner-Punkte’ auf elliptischen Kurven über anderen Zahlkörpern ergeben sollten. In diesem Zusammenhang gibt es kaum Beweise aber viele Konstruktionen. Alle bisher (von Darmons Schule) durchgeführten Rechnungen stehen im Einklang mit den von Darmon gemachten Vermutungen. Im Vortrag möchte ich nach einer kurzen Einführung einige der von Darmon vorgeschlagenen Algorithmen vorstellen.

Prof. Dr. Gregor Kemper (TU München): Neues aus der algorithmischen Invariantentheorie

Ziel des Vortrags ist es, einen Überblick über klassische Probleme und neue Entwicklungen in der algorithmischen Invariantentheorie zu geben. Es sei G eine algebraische Gruppe, die auf einer Varietät X operiert. In der Invariantentheorie interessiert man sich für den Invariantenring ~np~ K[X]^G ~/np~, bestehend aus allen regulären Funktionen auf X, die auf den G-Bahnen konstant sind. Die hauptsächliche rechnerische Herausforderung ist die Entwicklung von Methoden zur Berechnung eines Erzeugendensystems von ~np~ K[X]^G ~/np~. Für wichtige Spezialfälle existieren hierfür bereits Algorithmen. Abgesehen davon erweisen sich die folgenden Varianten des Problems als besonders zugänglich: die Berechnung von separierenden Invarianten, sowie die Berechnung des Invariantenkörpers. Für das letztgenannte Problem existiert ein Algorithmus, der ohne weitere Voraussetzungen an die Gruppe oder die Operation gültig ist. Fast alle der hier relevanten Algorithmen benutzen Gröbnerbasen-Methoden und stellen somit massive Herausforderungen an Computeralgebra-Systeme dar.

Prof. Dr. Wolfram Koepf (Universität Kassel): Potenzreihen und Summation in der Computeralgebra

In diesem Übersichtsvortrag werden Algorithmen der Computeralgebra für holonome Funktionen behandelt. Holonome Funktionen erfüllen lineare Differentialgleichungen mit Polynomkoeffizienten. Die holonome Differentialgleichung bildet dann eine Normalform, welche die Funktion (mit geeigneten Anfangsbedingungen) eindeutig charakterisiert. In ähnlicher Weise werden holonome Folgen durch holonome Rekursionsgleichungen charakterisiert. Eine Folge ist genau dann holonom, wenn ihre erzeugende Funktion holonom ist. Summe und Produkt holonomer Funktionen sind ebenfalls holonom. Die Potenzreihenentwicklung einer holonomen Funktion kann algorithmisch gefunden werden, indem die holonome Differentialgleichung der Funktion in eine holonome Rekursionsgleichung der zugehörigen Koeffizientenfolge konvertiert wird. Ist diese Rekursion erster Ordnung, liegt der Spezialfall einer hypergeometrischen Funktion vor, für welche man dann die Potenzreihe in geschlossener Form angeben kann. Algorithmen von Zeilberger, Petkovsek und van Hoeij lösen spezielle Fragen in diesem Kontext. Schließlich wird das Umkehrproblem der Summation in geschlossener Form behandelt. Alle Algorithmen werden mit Maple vorgeführt.

Dr. Felix Noeske (RWTH Aachen): Ein Streifzug durch die rechnergestützte Darstellungstheorie

Zentraler Gegenstand der Darstellungstheorie von Gruppen oder Algebren ist die Frage, wie sich abstrakt gegebene algebraische Strukturen konkret realisieren lassen. So lassen sich beispielsweise endliche Gruppen durch Homomorphismen in volle lineare Gruppen auf Matrixgruppen abbilden. Die in einem gewissen Sinne kleinsten Bausteine aller Darstellungen sind die sogenannten einfachen Darstellungen. Ein Grundproblem der Darstellungstheorie ist die Klassifikation der einfachen Darstellungen der endlichen einfachen Gruppen. In diesem Vortrag stellen wir neben einer Übersicht über den derzeitigen Stand dieser Klassifikation einige der Methoden vor, mit denen den Herausforderungen dieses Problems begegnet wird. Hier zeigt sich, wie wertvoll der Einsatz der Computeralgebra ist: Erst die algorithmische Umsetzung tiefliegender theoretischer Ergebnisse hat zahlreiche, insbesondere jüngere, Resultate durch unterstützende Computerrechnungen ermöglicht. Darüber hinaus wollen wir anhand ausgewählter Beispiele zeigen, in welchen Anwendungen die Methoden und Ergebnisse zur Lösung verwandter Probleme beigetragen haben.

Prof. Dr. Felix Ulmer (Universität Rennes): Berechnung liouvillescher Lösungen linearer Differentialgleichungen

Die Differential-Galoistheorie ermöglicht es alle geschlossenen Lösungsfunktionen, sogenannte Liouvillesche Lösungen, einer gewöhnlichen linearen Differentialgleichung zu berechnen, oder einen Beweis zu liefern, dass eine solche Lösung nicht existiert. Die Liouvilleschen Funktionen sind diejenigen Funktionen, die sich mittels einer endlichen Anzahl von Quadraturen und algebraischen Erweiterungen schreiben lassen. Im Vortrag wird die Differential-Galoistheorie kurz eingeführt, um den obigen Algorithmus herzuleiten.